Notions d’histoire pour les cours 201-NYA et 201-NYB

Site d'André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

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Calcul différentiel (201-NYA)

La notion de tangence a été développée en géométrie bien avant qu’elle ne soit utilisée en calcul différentiel. Cette notion, à l’origine est associée au cercle et il semble que c’est dans les travaux d’Archimède qu’elle a été associée au mouvement. Les premières approches pour déterminer la tangente à une courbe ont d’abord été géométriques puis mécaniques en combinant deux mouvements (La tangente, approches géométriques et mécaniques ). En utilisant une approche mécanique, Gilles Personne de Roberval (Roberval, Gilles Personne) a obtenu des résultats intéressants sur plusieurs courbes.

Avec le développement de la géométrie analytique que l’on doit à René Descartes et Pierre de Fermat, de nouvelles approches vont être développées dans la recherche de la tangente à une courbe (La tangente et la géométrie analytique).

Calcul intégral (201-NYB)

Le calcul d’aires et de volumes, qui est une application importante du calcul intégral, a eu très tôt un intérêt pratique dans les sociétés agraires. Cependant, les développements les plus intéressants sont dus aux savants grecs qui cherchaient à

établir le rapport entre les différentes grandeurs de figures géométriques, semblables ou non. La comparaison d'aires a donc précédé le calcul d’aires.

Les premiers résultats portant sur des aires délimitées par des courbes sont dus à Hippocrate (Hippocrate) qui s’est intéressé aux lunules qui portent son nom. Ces résultats sont importants car ils constituent la première réussite dans la démarche visant à « quarrer » une aire délimitée par une courbe. Eudoxe de Cnide (Eudoxe) a développé, à partir d’une idée d’Antiphon le sophiste une démarche qui sera appelée Méthode d'exhaustion, (Exhaustion, Eudoxe) et qui sera développée plus avant et utilisée par Archimède pour obtenir divers résultats (Archimède, Archimède, calcul par exhaustion). Une approche analogue à celle d’Archimède appelée méthode des indivisibles fut développée par Bonaventura Cavalieri. Des approches similaires ont été utilisées par Evangelista Torricelli et Gilles Personne de Roberval (Roberval, Gilles Personne). Celui-ci se servira de la notion d’indivisibles pour déterminer l’aire sous une cycloïde. Cette courbe a suscité également l’intérêt de Blaise Pascal dont les travaux sur le calcul d’aires ont été réalisés selon une approche géométrique classique (Pascal, sinus du quart de cercle). Le développement de la géométrie analytique par Pierre de Fermat et René Descartes a permis le développement de méthodes générales pour déterminer la tangente à une courbe et l’aire sous une courbe.

Les grecs ont également été confrontés à des situations que l’on traite de nos jours avec la notion de limite. Les paradoxes de Zénon, les paradoxes (Zénon)en sont un bel exemple. Les paradoxes sont importants parce qu’ils illustrent par l’absurde le fait que la représentation théorique d’un phénomène est inadéquate. Les paradoxes de Zénon illustrent le fait que l’on ne peut fonder notre conception du mouvement ni sur la notion de divisibilité infinie de la matière et du temps ni sur la constitution discrète de la matière et du temps des pythagoriciens. De fait, on ne peut développer une théorie adéquate du mouvement sans le calcul différentiel et intégral.